Question

定义在实数集R上的函数f（x），对一切实数x都有f（x+1）=f（2-x）成立，若f（x）=0仅有101个不同的实数根，那么所有实数根的和为（　　）

• A．101
• B．151
• C．303
• D．

  303

  2

Answer 1

分析：由f（x+1）=f（2-x）⇒f（x）=f（3-x）?函数y=f（x）的图象关于直线x=

3

2

对称，依题意知x=

3

2

必是一个根，而其他对称的根共有50对，每一对之和为3，从而可得答案．

解答：解：∵f（x+1）=f（2-x），
∴令t=x+1，
则f（t）=f（3-t），
∴f（x）=f（3-x），
∴函数y=f（x）的图象关于直线x=

3

2

对称，
又f（x）=0仅有101个不同的实数根，
所以x=

3

2

必是一个根，而其他对称的根共有50对，每一对之和为2×

3

2

=3，
∴所有的实数根之和为3×50+

3

2

=

303

2

．
故选D．

点评：本题考查数列的求和，考查函数的对称性，推得函数y=f（x）的图象关于直线x=

3

2

对称是关键，也是难点，属于中档题．