Question

已知函数f（x）=sin（x-φ），且

∫

2π 3 0

f（x）dx=0，则函数f（x）的图象的一条对称轴是（　　）

• A、x=

  5π

  6

• B、x=

  7π

  12

• C、x=

  π

  3

• D、x=

  π

  6

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,定积分

专题：三角函数的图像与性质

分析：由

∫

2π 3 0

f（x）dx=0求得

3

cos（φ+

π

6

）=0，故有 φ+

π

6

=kπ+

π

2

，k∈z．可取φ=

π

3

，则f（x）=sin（x-

π

3

）．
令x-

π

3

=kπ+

π

2

，求得x的值，可得函数f（x）的图象的一条对称轴方程．

解答：解：∵函数f（x）=sin（x-φ），

∫

2π 3 0

f（x）dx=-cos（x-φ）

|

2π 3 0

=-cos（

2π

3

-φ）-[-cos（-φ）]=

3

2

cosφ-

3

2

sinφ=

3

cos（φ+

π

6

）=0，
∴φ+

π

6

=kπ+

π

2

，k∈z，即 φ=kπ+

π

3

，k∈z，故可取φ=

π

3

，f（x）=sin（x-

π

3

）．
令x-

π

3

=kπ+

π

2

，求得 x=kπ+

5π

6

，k∈z，
则函数f（x）的图象的一条对称轴为 x=

5π

6

，
故选：A．

点评：本题主要考查定积分，函数y=Asin（ωx+φ）的图象的对称性，两角和差的三角公式的应用，属于中档题．