Question

设（a∈R）．
（1）若x=1是函数f（x）的极大值点，求a的取值范围；
（2）当时，若在上至少存在一点x，使f（x）＞e-1成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）先对函数进行求导，讨论a的取值，使x=1是函数f（x）的极大值点，求出变量a的范围．
（2）要在上至少存在一点x，使f（x）＞e-1成立，等价于当时，f（x）_max＞e-1，根据第一问可求出
f（x）_max，利用导数求闭区间上函数的最值即可．
解答：解：
当a-1≤0时，

当0＜a-1＜1时，

当a-1=1时，

当a-1＞1时，

综上所述，当a-1＞1，即a＞2时，x=1是函数f（x）的极大值点．（7分）
（2）在上至少存在一点x，使f（x）＞e-1成立，等价于
当时，f（x）_max＞e-1．（9分）
由（1）知，①当，即时，
函数f（x）在上递减，在[1，e]上递增，∴．
由，解得．
由，解得a＜1∵，∴?a＜1；（12分）
②当a≥1+e，即a-1≥e时，函数f（x）在上递增，在[1，e]上递减，f（x）_max=f（1）=2-a≤1-e＜e-1．
综上所述，当a＜1时，在上至少存在一点x，使f（x）＞e-1成立．（14分）
点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及存在性问题，属于中档题．