Question

已知中心在原点，顶点A₁、A₂在x轴上，离心率为的双曲线经过点P(6，6)．

　　(1)求双曲线的方程；

　　(2)动直线l经过△A₁PA₂的重心G，与双曲线交于不同的两点M、N，问是否存在直线l使G平分线段MN，试证明你的结论．

Answer 1

答案：
解析：

(1)设双曲线的方程为 　　， 　　据已知，得，∴　 　　∴　所求双曲线的方程为． (2)∵　P(6，6)，A1(-3，0)，A2(3，0)． 　∴　G点的坐标为(2，2)，假设存在直线l使G(2，2)平分线段MN，设M、N点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则有 　　 　　①-②得12(-)=9(-)， 　　将，代入得 　　=kMN=k1， 　　∴　l的方程为 　　由，消去y，整理得， 　　x2-4x＋28=0，∵　D=(-4)2-4×28＜0， 　　∴　所求直线l不存在．