Question

3．（I）如表所示是某市最近5年个人年平均收入表节选．求y关于x的回归直线方程，并估计第6年该市的个人年平均收入（保留三位有效数字）．

年份x	1	2	3	4	5
收入y（千元）	21	24	27	29	31

其中$\sum_{i=1}^{5}$x_iy_i=421，$\sum_{i=1}^{5}$x_i²=55，$\overline{y}$=26.4
附1：$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{xy}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$
（II）如表是从调查某行业个人平均收入与接受专业培训时间关系得到2×2列联表：

	受培时间一年以上	受培时间不足一年	总计
收入不低于平均值	60	20	80
收入低于平均值	10	10	20
总计	70	30	100

完成上表，并回答：能否在犯错概率不超过0.05的前提下认为“收入与接受培训时间有关系”．
附2：

P（K2≥k0）	0.50	0.40	0.10	0.05	0.01	0.005
k0	0.455	0.708	2.706	3.841	6.635	7.879

附3：
K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．（n=a+b+c+d）

Answer 1

分析 （I）由表数据求得样本中心点（$\overline{x}$，$\overline{y}$），利用最小二乘法求出线性回归方程的系数$\stackrel{∧}{b}$，将样本中心点代入，求出$\stackrel{∧}{a}$的值，写出线性回归方程；
（II）由数据将表填完整，通过所给的数据计算K²观测值，同临界值表中的数据进行比较，可得到结论．

解答 解：（I）由已知中数据可得：$\overline x=3，\overline y=26.4$，…（1分）
∵$\sum_{i=1}^5{x_i}{y_i}=421，\sum_{i=1}^5{{x_i}^2}=55$，
∴$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}-5\bar x}\bar y}}{{\sum_{i=1}^5{{x_i}^2-5{{\bar x}^2}}}}=\frac{25}{10}=2.5$…（3分）
$\hat a=\hat y-\hat b\overline{x}=26.4-7.5=18.9$，…（4分）
∴$\hat y=2.5x+18.9$，…（5分）
当x=6时，$\hat y$=33.9．
即第6年该市的个人年平均收入约为33.9千元；…（6分）
（II）某行业个人平均收入与接受专业培训时间关系得到2×2列联表：

	受培时间一年以上	受培时间不足一年	合计
收入不低于平均值	60	20	80
收入低于平均值	10	10	20
合计	70	30	100

…（7分）
假设H₀：“收入与接受培训时间没有关系”…（8分）
根据列联表中的数据，得到K²的观测值为K²=$\frac{100×（{60×10-10×20）}^{2}}{70×30×20×80}$≈4.762＞3.841．…（10分）
∴P（K²＞3.841）≤0.05…（11分）
故在犯错概率不超过0.05的前提下我们认为“收入与接受培训时间有关系”． …（12分）

点评 本题考查的知识是回归分析和独立性检验，计算量较大，属于中档题．