Question

20．已知数列{a_n}中对于任意正整数n都有a_n+1=${a}_{n}^{2}$+ca_n，其中c为实常数．
（Ⅰ）若c=2，a₁=1，求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若c=0，记T_n=（a₁-a₂）a₃+（a₂-a₃）a₄+…+（a_n-a_n+1）a_n+2，证明：
1）当0＜a₁≤$\frac{1}{2}$时，T_n＜$\frac{1}{32}$；
2）当$\frac{1}{2}$＜a₁＜1时，T_n＜$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过变形可知a_n+1+1=$（{a}_{n}+1）^{2}$，进而两边同时取对数，整理可知数列{log₂（a_n+1）}是首项为1、公比为2的等比数列，计算即得结论；
（Ⅱ）1）通过对a_n+1=${{a}_{n}}^{2}$两边同时取对数，进而可得a_n=${{a}_{1}}^{{2}^{n-1}}$，放缩、利用等比数列的求和公式计算即得结论；
2）利用数列{a_n}单调递减，结合立方差公式放缩可知（a_n-a_n+1）a_n+2＜$\frac{1}{3}$（${{a}_{n}}^{3}$-${{a}_{n+1}}^{2}$），进而累加即得结论．

解答 （Ⅰ）解：依题意，a_n＞0，
由c=2，a₁=1可知，a_n+1=${{a}_{n}}^{2}$+2a_n，即a_n+1+1=$（{a}_{n}+1）^{2}$，
两边同时取对数，得：log₂（a_n+1+1）=2log₂（a_n+1），
又∵log₂（a₁+1）=log₂（1+1）=1，
∴数列{log₂（a_n+1）}是首项为1、公比为2的等比数列，
∴log₂（a_n+1）=2^n-1，a_n=-1+${2}^{{2}^{n-1}}$；
（Ⅱ）证明：1）由c=0可知，a_n+1=${{a}_{n}}^{2}$，
两边同时取对数，得：log₂a_n+1=2log₂a_n，
∴数列{log₂a_n}是公比为2的等比数列，
∴log₂a_n=2^n-1log₂a₁，a_n=${{a}_{1}}^{{2}^{n-1}}$，
∴（a_n-a_n+1）a_n+2=（${{a}_{1}}^{{2}^{n-1}}$-${{a}_{1}}^{{2}^{n}}$）${{a}_{1}}^{{2}^{n+1}}$=${{a}_{1}}^{5×{2}^{n-1}}$（1-${{a}_{1}}^{{2}^{n-1}}$），
又∵0＜a₁≤$\frac{1}{2}$，
∴0＜${{a}_{1}}^{{2}^{n-1}}$≤$\frac{1}{2}$，
∴（a_n-a_n+1）a_n+2＜$\frac{1}{{2}^{5}}$•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴T_n＜$\frac{1}{{2}^{5}}$•$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$＜$\frac{1}{{2}^{5}}$=$\frac{1}{32}$；
2）由c=0可知，a_n+1=${{a}_{n}}^{2}$，
又∵$\frac{1}{2}$＜a₁＜1，
∴数列{a_n}单调递减，
∵a_n+2=${{a}_{n+1}}^{2}$＜$\frac{1}{3}$（${{a}_{n+1}}^{2}$+a_na_n+1+${{a}_{n}}^{2}$），
∴（a_n-a_n+1）a_n+2＜$\frac{1}{3}$（${{a}_{n}}^{3}$-${{a}_{n+1}}^{2}$），
∴T_n=（a₁-a₂）a₃+（a₂-a₃）a₄+…+（a_n-a_n+1）a_n+2
＜$\frac{1}{3}$（${{a}_{1}}^{3}$+${{a}_{2}}^{3}$+…+${{a}_{n}}^{3}$-${{a}_{n+1}}^{2}$）
=$\frac{1}{3}$（${{a}_{1}}^{3}$-${{a}_{n+1}}^{2}$）
＜$\frac{1}{3}$${{a}_{1}}^{3}$＜$\frac{1}{3}$．

点评 本题是一道关于数列与不等式的综合题，考查运算求解能力，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．