题目内容
15．已知当n∈N*时，Tn=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+$\frac{1}{n+3}$+…+$\frac{1}{2n}$，Sn=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n}$．（1）求S1，S2，T1，T2．
（2）猜想Sn与Tn的大小关系，并用数学归纳法证明．
分析 （1）由已知直接利用n=1，2，求出S1，S2，T1，T2的值；
（2）利用（1）的结果，直接猜想Sn=Tn，然后利用数学归纳法证明，①验证n=1时猜想成立；②假设n=k时，Sk=Tk，通过假设证明n=k+1时猜想也成立即可．
解答 解：（1）S1=1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，S2=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$=$\frac{7}{12}$，T1=$\frac{1}{2}$，T2=$\frac{1}{2+1}$+$\frac{1}{2+2}$=$\frac{7}{12}$；
（2）由（1）可以猜想，Sn=Tn，n∈N*，
证明如下：①当n=1时，猜想成立；
②假设n=k时，猜想成立，则Sk=Tk，（k≥1，k∈N*），
那么当n=k+1时，Sk+1=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2k-1}$-$\frac{1}{2k}$+$\frac{1}{2k+1}$-$\frac{1}{2k+2}$=Sk+$\frac{1}{2k+1}$-$\frac{1}{2k+2}$，
Tk+1=$\frac{1}{k+2}$+$\frac{1}{k+3}$+…+$\frac{1}{k+k}$+$\frac{1}{k+k+1}$+$\frac{1}{2（k+1）}$=Tk+$\frac{1}{k+k+1}$+$\frac{1}{2（k+1）}$-$\frac{1}{k+1}$=Tk+$\frac{1}{2k+1}$-$\frac{1}{2k+2}$，
∴Sk+1=Tk+1．
∴当n=k+1猜想成立，
由①②可知，Sn=Tn，n∈N*，
点评 本题是中档题，考查数列递推关系式的应用，数学归纳法证明数列问题的方法，考查逻辑推理能力，计算能力．
如图是函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象，给出下列命题：①函数y=f（x）必有两个相异的零点；
②函数y=f（x）只有一个极值点；
③y=f（x）在x=0处切线的斜率小于零；
④y=f（x）在区间（-3，1）上单调递增．
则正确命题的序号是（ ）
| A． | ①④ | B． | ②④ | C． | ②③ | D． | ③④ |
| A． | $\frac{3}{4}$ | B． | -$\frac{1}{3}$ | C． | -$\frac{3}{5}$ | D． | $\frac{4}{5}$ |
①有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱；
②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；
③如果直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，那么a∥b；
④如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，则l⊥γ
| A． | 0个 | B． | 1个 | C． | 2个 | D． | 3个 |
| A． | y=2x | B． | y=$\frac{1}{{x}^{2}}$ | C． | y=ln|x| | D． | y=cosx |
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E、F、G分别是棱AB、AD、D1A1的中点．