Question

16．若函数f（x）=x³+ax²+bx（a，b∈R）的图象与x轴相切于一点A（m，0）（m≠0），且f（x）的极大值为$\frac{1}{2}$，则m的值为（　　）

• A． $-\frac{2}{3}$
• B． $-\frac{3}{2}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 联立方程组，求出a，b，求出f（x）的导数，通过讨论m的范围，得到函数f（x）的单调区间，求出f（x）的极大值，得到关于m的方程，解出即可．

解答 解：∵f（x）=x³+ax²+bx（a，b∈R），
∴f′（x）=3x²+2ax+b，
∵f（x）的图象与x轴相切于一点A（m，0）（m≠0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{{3m}^{2}+2am+b=0}\\{{m}^{2}+am+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-2m}\\{b{=m}^{2}}\end{array}\right.$，
∴f′（x）=（3x-m）（x-m），
m＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞m或x＜$\frac{m}{3}$，
令f′（x）＜0，解得：$\frac{m}{3}$＜x＜m，
∴f（x）在（-∞，$\frac{m}{3}$）递增，在（$\frac{m}{3}$，m）递减，在（m，+∞）递增，
∴f（x）_极大值=f（$\frac{m}{3}$）=$\frac{1}{2}$，解得：m=$\frac{3}{2}$，
m＜0时，令f′（x）＞0，解得：x＜m或x＞$\frac{m}{3}$，
令f′（x）＜0，解得：$\frac{m}{3}$＞x＞m，
∴f（x）在（-∞，m）递增，在（m，$\frac{m}{3}$）递减，在（$\frac{m}{3}$，+∞）递增，
∴f（x）_极大值=f（m）=$\frac{1}{2}$，而f（m）=0，不成立，
综上，m=$\frac{3}{2}$，
故选：D．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．