Question

1．已知点P、Q分别为函数f（x）=x²+1（x≥0）和$g（x）=\sqrt{x-1}$图象上的点，则点P和Q两点距离的最小值为$\frac{{3\sqrt{2}}}{4}$．

Answer 1

分析 由题意可知，函数f（x）=x²+1（x≥0）和$g（x）=\sqrt{x-1}$互为反函数，则求出f（x）图象上的点到直线y=x的距离的最小值乘以2得答案．

解答 解：如图，
函数f（x）=x²+1（x≥0）和$g（x）=\sqrt{x-1}$互为反函数，
其图象关于直线y=x对称，
设f（x）=x²+1（x≥0）上一点P（x₀，y₀），
由f′（x₀）=2x₀=1，得${x}_{0}=\frac{1}{2}$，
∴P（$\frac{1}{2}，\frac{5}{4}$），则P到直线y=x的距离为d=$\frac{|\frac{1}{2}-\frac{5}{4}|}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{8}$．
∴点P和Q两点距离的最小值为2d=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．
故答案为：$\frac{{3\sqrt{2}}}{4}$．

点评 本题考查两点间距离公式的应用，考查了数形结合的解题思想方法，考查数学转化思想方法，是中档题．