Question

20．三条侧棱两两垂直的正三棱锥，其俯视图如图所示，主视图的边界是底边长为2的等腰三角形，则主视图的面积等于$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．

Answer 1

分析 由题意，正三棱锥有三个面都是等腰直角三角形，且边长相等．根据俯视图可得，底面是边长为2的等边三角形．利用体积法，求其高，即可得主视图的高．可得主视图的面积

解答 解：由题意，正三棱锥有三个面都是等腰直角三角形，
（如图：SAB，SBC，SAC）
且边长相等为$\sqrt{2}$，
其体积为V=$\frac{1}{3}×$$\sqrt{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$
根据俯视图可得，底面是边长为2的等边三角形．
其面积为：$\sqrt{3}$．
设主视图的高OS=h，
则$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×h$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
∴h=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
主视图的边界是底边长为2的等腰三角形，其高为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴得面积S=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{6}}{3}×2=\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故答案为$\frac{\sqrt{6}}{3}$

点评 本题考查了三视图与空间几何体的体积和表面积的计算，考虑空间想象能力，解决本题的关键是得到该几何体的形状．