Question

13．如图所示，四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，AB∥DC，AB=2AD，AD=BC=1，若PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°
（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；
（2）若点D到平面PBC的距离为$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

分析 （1）由已知可得BC⊥AC，再由PA⊥平面ABCD，得PA⊥BC．由线面垂直的判定得BC⊥平面PAC，进一步得到平面PAC⊥平面PBC；
（2）连接BD，设PA=a，利用等积法求得a，然后代入棱锥体积公式得答案．

解答 （1）证明：在△ABC中，∵AB=2BC，∠ABC=60°，∴∠ACB=90°，即BC⊥AC，
∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴PA⊥BC．
又PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC，
又BC?平面PBC，∴平面PAC⊥平面PBC；
（2）解：连接BD，设PA=a，又AB=2BC=2，
∴PC²=a²+3，
由V_P-BCD=V_D-PBC，得$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×sin120°×a=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\sqrt{{a}^{2}+3}×\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴$\sqrt{{a}^{2}+3}=2a$，解答a=1．
∴${V}_{P-ABCD}=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}×PA=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×（1+2）×\frac{\sqrt{3}}{2}×1=\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查面面垂直的判定，考查了空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．