题目内容
某地区有三座工厂分别位于△ABC的三个顶点，已知AB=AC=| 30 |
| 21 |
（1）设OA=xkm，若要使排污管道总长不超过11km，求x的取值范围；
（2）设∠OBC=θ，当排污管道总长取最小值时，求θ的值．
分析：（1）设BC中点为D，由AB=AC及OB=OC知，O点在线段AD上，设OA=xkm，求出AD，若要使排污管道总长不超过11km，即OA+OB+OB≤11，解不等式即可求x的取值范围；
（2）设∠OBC=θ，求出排污管道总长的表达式，求出取最小值时的θ值即可．
（2）设∠OBC=θ，求出排污管道总长的表达式，求出取最小值时的θ值即可．
解答：
解：（1）设BC中点为D，由AB=AC及OB=OC知，O点在线段AD上
AD=
=
=3km
设AO=x，则0＜x＜3…（2分）OC=OB=
=
由OA+OB+OB≤11知x+2
≤11…（3分）
即2
≤11-x
平方化简有：3x2-2x-1≤0…（5分）-
≤x≤1又 0＜x＜3
故0＜x≤1…（6分）
（2）设∠OBC=θ，则BO=
、OD=
∴OA=3-
则L=OA+OB+OC=3+
×
…（8分）
令k=
得2=kcosθ+sinθ≤
故k2≥3，又k＞0，故k≥
…（10分）
则Lmin=3+
•
=3+3
此时有：
=
，即
cosθ+sinθ=22sin(θ+
)=2得sin(θ+
)=1
又θ∈(0，
)，故θ+
=
故θ=
…（12分）
（若由（1）知L=x+2
得L-x=2
平方化为x的二次方程△≥0得Lmin亦可．）
解：（1）设BC中点为D，由AB=AC及OB=OC知，O点在线段AD上AD=
| AB2-BD2 |
| 30-21 |
设AO=x，则0＜x＜3…（2分）OC=OB=
| 21+(3-x)2 |
| 30-6x+x2 |
由OA+OB+OB≤11知x+2
| 30-6x+x2 |
即2
| 30-6x+x2 |
平方化简有：3x2-2x-1≤0…（5分）-
| 1 |
| 3 |
故0＜x≤1…（6分）
（2）设∠OBC=θ，则BO=
| ||
| cosθ |
| ||
| cosθ |
∴OA=3-
| ||
| cosθ |
则L=OA+OB+OC=3+
| 21 |
| 2-sinθ |
| cosθ |
令k=
| 2-sinθ |
| cosθ |
| k2+1 |
故k2≥3，又k＞0，故k≥
| 3 |
则Lmin=3+
| 21 |
| 3 |
| 7 |
此时有：
| 2-sinθ |
| cosθ |
| 3 |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
又θ∈(0，
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
故θ=
| π |
| 6 |
（若由（1）知L=x+2
| 30-6x+x2 |
| 30-6x+x2 |
点评：本题是中档题，考查函数的实际应用，三角函数的化简求值，两角和的正弦函数的应用，考查计算能力．
练习册系列答案
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、
．为了处理三个工厂的污水，现要在△ABC区域内（不包括边界）且与B、C等距的一点O处建立一个污水处理厂，并铺设排污管道OA、OB、OC．
某地区有三座工厂分别位于△ABC的三个顶点，已知
、
. 为了处理三个工厂的污水，现要在△ABC区域内（不包括边界）且与B、C等距的一点O处建立一个污水处理厂，并铺设排污管道OA、OB、OC.
，若要使排污管道总长不超过11 km，求x的取值范围；
，当排污管道总长取最小值时，求
的值.