Question

长方体AC₁中，底面ABCD为边长为2的正方形，高AA₁为1，M、N分别是边C₁D₁与A₁D₁的中点.

(1)求证：四边形MNAC是等腰梯形；

(2)求梯形MNAC的面积.

Answer 1

思路解析：(1)要证明一个四边形是等腰梯形，应证明①四边形是平面图形；②有一组对边平行；③另一组对边不相等.

(2)只需利用(1)的结论，并利用梯形的面积公式，即要得出问题的解答.

解：(1)连结A₁C₁，则MN是△A₁C₁D₁的中位线，于是MNA₁C₁

又A₁C₁AC,

∴MNAC.

∴M、N、A、C共面，且四边形MNAC为梯形.

∵Rt△AA₁N≌Rt△CC₁M，

∴AN=CM.

∴梯形MNAC为等腰梯形.

(2)AN²=A₁A²+A₁N²=1+1=2，AC=2，MN=，

梯形的高为h=

∴S_梯形ACMN=(AC+MN)×h=.