Question

20．已知函数$f（x）=ln（\sqrt{1+{x^2}}-x）+4$，f（lg（log₂10））=5，则f（lg（lg2））=（　　）

• A． -5
• B． -1
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 令g（x）=ln（$\sqrt{{1+x}^{2}}$-x），可得g（x）为奇函数，f（x）=g（x）+4．根据条件求得g（ lg（lg2））=-1，可得f（lg（lg2））=g（lg（lg2））+4 的值．

解答 解：∵函数$f（x）=ln（\sqrt{1+{x^2}}-x）+4$，令g（x）=ln（$\sqrt{{1+x}^{2}}$-x），
则g（-x）=ln（$\sqrt{{1+x}^{2}}$+x）=ln$\frac{1}{\sqrt{{1+x}^{2}}-x}$=-ln（$\sqrt{{1+x}^{2}}$+x）=-g（x），
故g（x）为奇函数，f（x）=g（x）+4．
∵lg（log₂10））+lg（lg2）=lg1=0，∴lg（log₂10））=-lg（lg2）．
∵f（lg（log₂10））=5，∴f（lg（log₂10））=g（lg（log₂10））+4=5，
∴g（lg（log₂10））=1，∴g（-lg（log₂10））=g（ lg（lg2））=-1，
∴f（lg（lg2））=g（lg（lg2））+4=-1+4=3，

点评 本题主要考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意奇函数性质的合理运用，属于中档题．