Question

17．在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知$\sqrt{3}$a=2csinA．
（1）求角C的值；
（2）若c=$\sqrt{13}$，且S_△ABC=3$\sqrt{3}$，求a+b的值．

Answer 1

分析 （1）由$\sqrt{3}$a=2csinA及正弦定理得$\sqrt{3}$sinA=2sinCsinA，又sinA≠0，可sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．又△ABC是锐角三角形，即可求C．
（2）由面积公式，可解得ab=12，由余弦定理，可解得a²+b²-ab=13，联立方程即可解得a+b的值．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）由$\sqrt{3}$a=2csinA及正弦定理，得$\sqrt{3}$sinA=2sinCsinA，
∵sinA≠0，
∴sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
又∵△ABC是锐角三角形，
∴C=$\frac{π}{3}$…（4分）
（2）∵c=$\sqrt{13}$，C=$\frac{π}{3}$，
∴由面积公式，得$\frac{1}{2}$absin$\frac{π}{3}$=3$\sqrt{3}$，即ab=12．①
由余弦定理，得a²+b²-2abcos$\frac{π}{3}$=13，
即a²+b²-ab=13．②
由②变形得（a+b）²=3ab+13．③
将①代入③得（a+b）²=49，故a+b=7…（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，考查了转化思想和计算能力，属于中档题．