Question

15．如图，将菱形AECF沿对角线EF折叠，分别过E、F作AC所在平面的垂线ED、FB，垂足分别为D、B，四边形ABCD为菱形，且∠BAD=60°．
（1）求证：FC∥平面ADE；
（2）若AB=2BF=2，求该几何体的体积．

Answer 1

分析 （1）可通过证明平面BCF∥平面ADE来得出FC∥平面ADE；
（2）利用勾股定理证明DE=BF，得出四边形BDEF是矩形再证明AC⊥平面BDEF，于是几何体分割成全等的两个四棱锥A-BDEF和C-BDEF．

解答 证明：（1）∵DE⊥平面ABCD，BF⊥平面ABCD，
∴DE∥BF，又BF?平面ADE，DE?平面ADE，
∴BF∥平面ADE．
∵四边形ABCD是菱形，∴BC∥AD，
又BC?平面ADE，AD?平面ADE，
∴BC∥平面ADE，
又BF?平面BCF，BC?平面BCF，BC∩BF=B，
∴平面BCF∥平面ADE，∵CF?平面BCF，
∴FC∥平面ADE．
（2）∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，
∴△ABD是等边三角形，AC⊥BD，
∴AC=2$\sqrt{3}$，BD=AD=BC=2，
∵DE⊥平面ABCD，BF⊥平面ABCD，
∴DE⊥AD，BF⊥BC，DE⊥BD，DE⊥AC，
∴AC⊥平面BDEF，DE=$\sqrt{A{E}^{2}-A{D}^{2}}$，BF=$\sqrt{C{F}^{2}-B{C}^{2}}$，
又折叠前AECF是菱形，∴AE=CF，
∴DE=BF，又DE∥CF，∴四边形BDEF是矩形．
∴S_矩形BDEF=BD•BF=2×1=2．
∴几何体的体积V=$\frac{1}{3}{S}_{矩形BDEF}$•AC=$\frac{1}{3}×2×2\sqrt{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了线面平行的判定，棱锥的体积计算，当不好构造平行直线时，常采用证明面面平行得出线面平行，属于中档题．