Question

12．机动车驾驶证考试分理论考试和实际操作考试两部分进行，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分都“合格”者，则机动车驾驶证考试“合格”（并颁发机动车驾驶证）．甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为$\frac{4}{5}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{2}{3}$，在实际操作中“合格”的概率依次为$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{5}{6}$，所有考试是否合格相互之间没有影响．
（1）求这3人进行理论与实际操作两项考试后，恰有2人获得（机动车驾驶证）的概率；
（2）用X表示甲、乙、丙三人在理论考试中合格的人数，求X的分布列和数学期望E（X）．

Answer 1

分析 （1）记“甲获得《机动车驾驶证》”为事件A《“乙获得《机动车驾驶证》”为事件B，“丙获得《机动车驾驶证》”为事件C，“这3人进行理论与实际操作两项考试后，恰有2人获得（机动车驾驶证）”为事件D，由P（D）=P（AB$\overline{C}$）+P（A$\overline{B}$C）+P（$\overline{A}$BC），能求出这3人进行理论与实际操作两项考试后，恰有2人获得（机动车驾驶证）的概率．
（2）由题意得X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．

解答 解：（1）记“甲获得《机动车驾驶证》”为事件A《“乙获得《机动车驾驶证》”为事件B，
“丙获得《机动车驾驶证》”为事件C，“这3人进行理论与实际操作两项考试后，恰有2人获得（机动车驾驶证）”为事件D，
则P（A）=$\frac{4}{5}×\frac{1}{2}$=$\frac{2}{5}$，P（B）=$\frac{3}{4}×\frac{2}{3}$=$\frac{1}{2}$，P（C）=$\frac{2}{3}×\frac{5}{6}$=$\frac{5}{9}$，
则P（D）=P（AB$\overline{C}$）+P（A$\overline{B}$C）+P（$\overline{A}$BC）
=$\frac{2}{5}×\frac{1}{2}×\frac{4}{9}$+$\frac{2}{5}×\frac{1}{2}×\frac{5}{9}$+$\frac{3}{5}×\frac{1}{2}×\frac{5}{9}$=$\frac{11}{30}$．
（2）由题意得X的可能取值为0，1，2，3，
P（X=0）=$\frac{1}{5}×\frac{1}{4}×\frac{1}{3}$=$\frac{1}{60}$，
P（X=1）=$\frac{4}{5}×\frac{1}{4}×\frac{1}{3}+\frac{1}{5}×\frac{3}{4}×\frac{1}{3}$+$\frac{1}{5}×\frac{1}{4}×\frac{2}{3}$=$\frac{9}{60}$，
P（X=2）=$\frac{4}{5}×\frac{3}{4}×\frac{1}{3}$+$\frac{4}{5}×\frac{1}{4}×\frac{2}{3}$+$\frac{1}{5}×\frac{3}{4}×\frac{2}{3}$=$\frac{26}{60}$，
P（X=3）=$\frac{4}{5}×\frac{3}{4}×\frac{2}{3}$=$\frac{24}{60}$，
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{60}$	$\frac{9}{60}$	$\frac{26}{60}$	$\frac{24}{60}$

E（X）=$0×\frac{1}{60}+1×\frac{9}{60}+2×\frac{26}{60}+3×\frac{24}{60}$=$\frac{133}{60}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．