Question

20．已知函数f（x）=|x-a|-|x-3|．
（1）若a=-1，解不等式f（x）≥2；
（2）若存在实数x，使得$f（x）≤-\frac{a}{2}$成立，试求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若a=-1，则f（x）=|x+1|-|x-3|，运用函数的零点分区间，讨论当x≥3时，当-1≤x＜3时，当x＜-1时，化简不等式求解，最后求并集即可；
（2）由题意知这是一个存在性的问题，须求出不等式左边的最大值，可运用绝对值不等式的性质可得最大值，再令其大于等于$\frac{a}{2}$，即可解出实数a的取值范围．

解答 解：（1）若a=-1，则f（x）=|x+1|-|x-3|，
若x≥3，由f（x）≥2，
得（x+1）-（x-3）≥2不等式显然成立，
若-1≤x＜3，由f（x）≥2，
得（x+1）+（x-3）≥2，解得x≥2．
又-1≤x＜3，∴2≤x＜3．
若x＜-1，由f（x）≥2，
得-（x+1）+（x-3）≥2不等式不成立．
∴不等式f（x）≥2的解集为{x|x≥2}．
综上所述，不等式f（x）≥2的解集为{x|x≥2}；
（2）不等式$f（x）≤-\frac{a}{2}$即|x-a|-|x-3|$≤-\frac{a}{2}$．
|x-a|-|x-3|≥-|（x-a）-（x-3）|=-|a-3|，
若a＞3，等号成立当且仅当x≥3，
若a=3，等号成立当且仅当x∈R，
若a＜3，等号成立当且仅当x≤3．
∴-|a-3|$≤-\frac{a}{2}$，即|a-3|$≥\frac{a}{2}$，
若a≥3，则（a-3）$≥\frac{a}{2}$，解得a≥6．
若a＜3，则-（a-3）$≥\frac{a}{2}$，解得a≤2．
∴a的取值范围是（-∞，2]∪[6，+∞）．
综上所述，a的取值范围是（-∞，2]∪[6，+∞）．

点评 本题考查绝对值不等式，求解本题的关键是正确理解题意，区分存在问题与恒成立问题的区别，本题是一个存在问题，解决的是有的问题，故取|a-3|≥$\frac{a}{2}$，即小于等于左边的最大值即满足题意，本题是一个易错题，主要错误就是出在把存在问题当成恒成立问题求解，因思维错误导致错误，是有一定难度的题目．