a＞0.b＞0.且a.b互不相等$\frac{a+b}{2}$.$\frac{2ab}{a+b}$.$\sqrt{\frac{{{a^2}+{b^2}}}{2}}$.$\sqrt{ab}$,则它们大小关系是$\frac{2ab}{a+b}$＜$\sqrt{ab}$＜$\frac{a+b}{2}$＜$\sqrt{\frac{{{a^2}+{b^2}}}{2}}$．(用＜号连� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

15．a＞0，b＞0，且a，b互不相等$\frac{a+b}{2}$，$\frac{2ab}{a+b}$，$\sqrt{\frac{{{a^2}+{b^2}}}{2}}$，$\sqrt{ab}$；则它们大小关系是$\frac{2ab}{a+b}$＜$\sqrt{ab}$＜$\frac{a+b}{2}$＜$\sqrt{\frac{{{a^2}+{b^2}}}{2}}$．（用”＜”号连接．

分析根据题意，先由基本不等式的性质可得$\sqrt{ab}$＜$\frac{a+b}{2}$，利用作差法比较（$\sqrt{\frac{{{a^2}+{b^2}}}{2}}$）²与（$\frac{a+b}{2}$）²的大小可得$\frac{a+b}{2}$＜$\sqrt{\frac{{{a^2}+{b^2}}}{2}}$，利用不等式的性质分析可得$\frac{2ab}{a+b}$＜$\sqrt{ab}$，综合可得答案．

解答解：根据题意，由基本不等式可得$\frac{a+b}{2}$≥$\sqrt{ab}$，又由a，b互不相等，则有$\sqrt{ab}$＜$\frac{a+b}{2}$，
而（$\sqrt{\frac{{{a^2}+{b^2}}}{2}}$）²-（$\frac{a+b}{2}$）²=$\frac{2（{a}^{2}+{b}^{2}）}{4}$-$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}+2ab}{4}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-2ab}{4}$＞0，则有（$\frac{a+b}{2}$）²＜（$\sqrt{\frac{{{a^2}+{b^2}}}{2}}$）²，即有$\frac{a+b}{2}$＜$\sqrt{\frac{{{a^2}+{b^2}}}{2}}$，
又由$\sqrt{ab}$＜$\frac{a+b}{2}$，则有$\frac{2}{a+b}$＜$\frac{1}{\sqrt{ab}}$，即$\frac{2ab}{a+b}$＜$\sqrt{ab}$，
综合有$\frac{2ab}{a+b}$＜$\sqrt{ab}$＜$\frac{a+b}{2}$＜$\sqrt{\frac{{{a^2}+{b^2}}}{2}}$；
故答案为：$\frac{2ab}{a+b}$＜$\sqrt{ab}$＜$\frac{a+b}{2}$＜$\sqrt{\frac{{{a^2}+{b^2}}}{2}}$．

点评本题考查基本不等式的应用，注意a，b互不相等的这一条件．

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6．关于x的方程（ k-2 ）x²-（ 3k+6 ）x+6k=0有两个负根，则k的取值范围是$[{-\frac{2}{5}，0}）$．

3．已知函数f（x）=3sin$\frac{x}{2}$-4cos$\frac{x}{2}$的图象关于直线x=θ对称，则sinθ=-$\frac{24}{25}$．

10．△ABC满足下列条件：①b=3，c=4，B=30°；②a=5，b=8，A=30°；③c=6，b=3$\sqrt{3}$，B=60°；④c=9，b=12，C=60°．其中有两个解的是（　　）

	A．	若a，b∈R且a+b=1，则a•b≤$\frac{1}{4}$
	B．	若a，b∈R，则$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$≥（$\frac{a+b}{2}$）²≥ab恒成立
	C．	$\frac{{x}^{2}+3}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$ （x∈R）的最小值是2$\sqrt{2}$
	D．	x₀，y₀∈R，x₀²+y₀²+x₀y₀＜0