Question

在空间直角坐标系中，已知A（3，0，1）和B（1，0，﹣3），试问

（1）在y轴上是否存在点M，满足|MA|=|MB|？

（2）在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，试求出点M坐标．

 

Answer 1

（1）y轴上所有点都满足关系|MA|=|MB|；

（2）M坐标为（0，，0），或（0，，0）．

【解析】

试题分析：（1）若能求出y轴上点M满足|MA|=|MB|，则问题得到解决，故可先假设存在，设出点M（0，y，0），由|MA|=|MB|，建立关于参数y的方程，求y，若y值存在，则说明假设成立，在y轴上 存在点M，满足|MA|=|MB|，否则说明不存在．

（2）由（1）知，△MAB为等腰三角形，若能证明|MA|=|AB|则可以说明存在点M，使△MAB为等边三角形，故可令|MA|=|AB|建立方程求y，若y值存在，则说明存在，否则说明不存在．

【解析】
（1）假设在y轴上存在点M，满足|MA|=|MB|．

因M在y轴上，可设M（0，y，0），由|MA|=|MB|，

可得，

显然，此式对任意y∈R恒成立．

这就是说y轴上所有点都满足关系|MA|=|MB|．

（2）假设在y轴上存在点M，使△MAB为等边三角形．

由（1）可知，y轴上任一点都有|MA|=|MB|，

所以只要|MA|=|AB|就可以使得△MAB是等边三角形．

因为|MA|=

于是，解得

故y轴上存在点M使△MAB等边，

M坐标为（0，，0），或（0，，0）．