题目内容
(本小题12分)如图，
、
分别是正四棱柱
上、下底面的中
心，
是
的中点，
.
（Ⅰ）求证：
∥平面
；
（Ⅱ当
取何值时，在平面内的射影恰好为
的重心?
、分别是正四棱柱上、下底面的中心，
是的中点，.（Ⅰ）求证：
∥平面；（Ⅱ当
取何值时，在平面内的射影恰好为的重心? (Ⅰ)证明 见解析；
（Ⅱ）当
时，在平面内的射影恰好为的重心.
|
时，在平面内的射影恰好为的重心. 本题是中档题，考查空间向量求直线与平面平行，法向量的求法，直线与平面所成的角，考查计算能力．
（1）以点O为原点，直线OA、OB、OP所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设AB=2
，然后利用平面向量基本定理来证明线面平行。
（2）先由（Ⅰ）知△PBC的重心G坐标，然后利用利用数量积垂直关系为0，得到参数k的值。
以点为原点，直线
所在直线分别为
轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设
，
则得
、
、
、
、
(Ⅰ)证明 由上得
、
、
，设
得
解得
， ∴
，
∴∥平面
（Ⅱ）解 由(Ⅰ)知的重心
为
，则
，若在平面内的射影恰好为的重心，则有
，解得
∴当时，在平面内的射影恰好为的重心.
（1）以点O为原点，直线OA、OB、OP所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设AB=2
，然后利用平面向量基本定理来证明线面平行。（2）先由（Ⅰ）知△PBC的重心G坐标，然后利用利用数量积垂直关系为0，得到参数k的值。
以点
为原点，直线所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设
，则得
、、、、 (Ⅰ)证明 由上得
、、，设得解得
， ∴， ∴∥平面
|
的重心为，则，若在平面内的射影恰好为的重心，则有，解得∴当
时，在平面内的射影恰好为的重心. 
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时，求证：
；
的大小为
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,
,底面
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与平面
所成角的余弦值;
点到平面
的距离
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,使得二面角
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?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.