Question

设a∈R，把三阶行列式中第一行第二列元素的余子式记为f（x），且关于x的不等式f（x）＜0的解集为（-2，0）．各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，点列（a_n，S_n）（n∈N^*）在函数y=f（x）的图象上．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）若，求的值；
（3）令，求数列{c_n}的前20项之和．

Answer 1

【答案】分析：（1）由条件可知，f（x）=x²+ax，利用不等式f（x）＜0的解集为（-2，0），可求a，从而可得函数y=f（x）的解析式；
（2）利用点列（a_n，S_n）（n∈N^*）在函数y=f（x）的图象上，可得所以S_n=+，利用当n≥2时，由=S_n-S_n-1，可得数列{a_n}为等差数列，从而可得a_n=2n，b_n=2²ⁿ=4ⁿ，进而可求；
（3）分n为奇数、偶数分别求和，即可求得数列{c_n}的前20项之和．
解答：解：（1）由条件可知，f（x）=x²+ax…（2分）
因为关于x的不等式f（x）＜0的解集为（-2，0），所以a=…（3分）
即函数y=f（x）的解析式为f（x）=x²+x…（4分）
（2）因为点列（a_n，S_n）（n∈N^*）在函数y=f（x）的图象上，所以S_n=+
n=1代入，a₁=S₁=+，即-=0，
因为a₁＞0，所以a₁=2；…（6分）
当n≥2时，由a_n=S_n-S_n-1，化简可得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，…（8分）
因为a_n＞0，所以a_n-a_n-1=2，即数列{a_n}为等差数列，且a_n=2n（n∈N^*）…（10分）
则b_n=2²ⁿ=4ⁿ，所以==2…（12分）
（3）n为奇数时，c₁+c₃+…+c₁₉=a₁+a₃+…+a₁₉=…（14分）
n偶数时，c₂+c₄+…+c₂₀=c₁+c₂+…+c₁₀=4c₁+2c₃+2c₅+c₇+c₉=72…（16分）
所以，数列{c_n}的前20项之和为200+72=272…（18分）
点评：本题考查数列与函数的关系，考查数列通项的求解，考查数列求和，确定数列通项是关键．