Question

2．定义在R上的函数f（x）满足：f′（x）+f（x）-2＞0，f（0）=3，f′（x）是f（x）的导函数，则不等式e^xf（x）＞2e^x+1（其中e为自然对数的底数）的解集为（　　）

• A． （-∞，0）∪（3，+∞）
• B． （0，+∞）
• C． （-∞，0）∪（1，+∞）
• D． （3，+∞）

Answer 1

分析 令F（x）=e^xf（x）-2e^x-1，从而求导F′（x）=e^x（f（x）+f′（x）-2）＞0，从而由导数求解不等式．

解答 解：解：令F（x）=e^xf（x）-2e^x-1
则F′（x）=e^x[f（x）+f′（x）-2]＞0，
故F（x）是R上的单调增函数，
而F（0）=e⁰f（0）-2e⁰-1=0，
故不等式e^xf（x）＞2e^x+1（其中e为自然对数的底数）的解集为（0，+∞）
故选：B．

点评 本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．