Question

17．如图所示，△ABC是边长为2的正三角形，BC∥平面α，且A、B、C在平面α的同侧，它们在α内的正射影分别是A′、B′、C′，且△A′B′C′是Rt△，BC到α的距离为5．
（1）求点A到平面α的距离；
（2）求平面ABC与平面α所成较小二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）过A作AD⊥BB′于D，AE⊥CC′于E，推导出∠C'A′B′=90°，由此能求出A点到平面α的距离．
（2）以A′为原点，射线A′B′，A′C′，A′A分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面ABC与平面α所成较小二面角的余弦值．

解答 解：（1）如图，过A作AD⊥BB′于D，AE⊥CC′于E．
由题意知BB′=CC′=5，B′C′=2    …2′
设AA′=x，则BD=5-x，CE=5-x，
∴${A}^{'}{B}^{'}=AD=AE={A}^{'}{C}^{'}=\sqrt{4-（5-x）^{2}}$，∠C'A′B′=90°，…4′
∵B′C′=2，∴4-（5-x）²=2，
∴x=5-$\sqrt{2}$或x=5+$\sqrt{2}$（舍），
∴A点到平面α的距离为5-$\sqrt{2}$．…6′
（2）以A′为原点，射线A′B′，A′C′，A′A分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系   …7′
由（1）可知：A′（0，0，0），${B}^{'}（\sqrt{2}，0，0），{C}^{'}（0，\sqrt{2}，0）$，
A（0，0，5-$\sqrt{2}$），B（$\sqrt{2}，0，5$），
C（0，$\sqrt{2}$，5），…8′
平面A′B′C′的法向量为$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），…9′
$\overrightarrow{AB}$=（$\sqrt{2}，0，\sqrt{2}$），$\overrightarrow{AC}$=（0，$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），
设平面ABC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=\sqrt{2}x+\sqrt{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=\sqrt{2}y+\sqrt{2}z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，-1），
设平面ABC与平面α所成较小二面角为θ，…10′
则 cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，…11′
∴平面ABC与平面α所成较小二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．…12′

点评 本题考查点到平面的距离的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．