Question

3．已知$|\overrightarrow a|=3，|\overrightarrow{b|}=4$，且$|\overrightarrow a|$与$|\overrightarrow{b|}$为不共线的平面向量．
（1）若$（\overrightarrow a+k\overrightarrow b）⊥（\overrightarrow a-k\overrightarrow b）$，求k的值；
（2）若$（k\overrightarrow a-4\overrightarrow b）$∥$（\overrightarrow a-k\overrightarrow b）$，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根据两向量垂直数量积为0，列出方程求出k的值；
（2）利用向量的共线定理，列出方程求出k的值．

解答 解：（1）因为$（\overrightarrow a+k\overrightarrow b）⊥（\overrightarrow a-k\overrightarrow b）$，
所以$（\overrightarrow a+k\overrightarrow b）（\overrightarrow a-k\overrightarrow b）=0$，
所以${\overrightarrow a^2}-{k^2}{\overrightarrow b^2}=0$，…（3分）
因为$|{\overrightarrow a}|=3$，$|{\overrightarrow b}|=4$，
所以9-16k²=0，
解得$k=±\frac{3}{4}$；
（2）因为$（k\overrightarrow a-4\overrightarrow b）$∥$（\overrightarrow a-k\overrightarrow b）$，且$\overrightarrow a-k\overrightarrow b≠0$，
所以存在实数λ，使得$k\overrightarrow a-4\overrightarrow b=λ（\overrightarrow a-k\overrightarrow b）=λ\overrightarrow a-λk\overrightarrow b$，
因为$|{\overrightarrow a}|=3$，$|{\overrightarrow b}|=4$，且$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$不共线，
所以$\left\{\begin{array}{l}k=λ\\-4=-kπ\end{array}\right.$，
解得k=±2．

点评 本题考查了向量垂直于共线的应用问题，也考查了方程思想的应用问题，是基础题目．