Question

如图，二面角α－DC－β是α度的二面角，A为α上一定点，且ΔADC面积为S，DC＝a，过点A作直线AB，使AB⊥DC且与半平面β成30°的角，求α变化时，ΔDBC面积的最大值．

Answer 1

答案：
解析：

解析：在α内作AE⊥DC于E，则AE为ΔADC的高，则有AE·DC＝，AE＝． 　　由于DC⊥AE，DC⊥AB，则有DC⊥ΔAEB所在的平面，所以DC⊥BE，则∠AEB是二面角α－DC－β的平面角，即∠AEB＝α． 　　又由于DC⊥ΔAEB所在平面，且DC在β上，所以平面β⊥ΔAEB所在平面． 　　令AF⊥BE于F，则有AF⊥平面β，于是，FB是AB在平面β上的射影，所以∠ABE是AB与β所成的角． 　　∴∠ABE＝30°，在ΔAEB中，有＝，∴EB＝sin(α＋30°)． 　　据题意，有α∈(0°，180°)，当α＝60°时，有EBmax＝，这时(SΔDBC)max＝a·＝2S． 　　说明：本例对直线与直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角的平面角，点到直线的距离，点到平面的距离等概念以及三垂线定理和逆定理的考察是很深刻的，综合了直线与平面这一章的一些主要知识．