题目内容

设f（x）=x-lnx，则此函数在区间（0，1）内为（　　）
A．单调递减B．有增有减C．单调递增D．不确定
∵f（x）=x-lnx∴f'（x）=1-
1
x
=
x-1
x

令
x-1
x
＜0，则0＜x＜1
则此函数在区间（0，1）内为单调递减
故选A．
练习册系列答案
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设f(x)=
ln(1+x)
x
(x＞0)
（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）是否存在实数a，使得关于x的不等式ln（1+x）＜ax在（0，+∞）上恒成立，若存在，求出a的取值范围，若不存在，试说明理由；
（Ⅲ）求证：(1+
1
n
)n＜e，n∈N*（其中e为自然对数的底数）．
设a＞0，求函数f（x）=
x
-ln（x+a）（x∈（0，+∞））的单调区间．
已知函数f（x）=elnx，g（x）=e-1•f（x）-（x+1）．（e=2.718…）
（1）求函数g（x）的极大值；
（2 ）求证：1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
＞ln(n+1)(n∈N*)；
（3）对于函数f（x）与h（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，b，使得f（x）≤kx+b和h（x）≥kx+b都成立，则称直线y=kx+b为函数f（x）与h（x）的“分界线”．设函数h(x)=
1
2
x2，试探究函数f（x）与h（x）是否存在“分界线”？若存在，请加以证明，并求出k，b的值；若不存在，请说明理由．
设函数f（x）=x-ln（x+2），证明函数f（x）在区间[e-2-2，e4-2]内至少有两个零点．
设f（x）=（x+1）ln（x+1）+m（x2+2x）（m∈R）
（1）当m=-1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若当x≥0时，f（x）≤0，求实数m的取值范围．

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