题目内容
19．已知向量$\overrightarrow a$=（2sin2x，1），$\overrightarrow b$=（1，-1），x∈R．（1）当x=$\frac{π}{6}$时，求下列$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$的坐标；
（2）若函数f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$+3，问：x为何值时，f（x）取得最大值？最大值是多少？
分析 （1）当$x=\frac{π}{6}$时，求出$\overrightarrow{a}$的坐标，利用平面向量加减运算法则，求出$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$坐标．
（2）由函数f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$+3，求出）$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$，再求出f（x）的解析式，利用三角函数图象及性质求解即可．
解答 解：（1）由题知：$\overrightarrow b$=（1，-1），
当$x=\frac{π}{6}$时，$\overrightarrow a=（2{sin^2}\frac{π}{6}，1）=（\frac{1}{2}，1）$，
∴$\overrightarrow a+\overrightarrow b=（\frac{1}{2}，1）+（1，-1）=（\frac{1}{2}+1，1-1）=（\frac{3}{2}，0）$．
故$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$的坐标为（$\frac{3}{2}$，0）；
（2）∵$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=1×2sin2x+1×（-1）=2sin2x-1，
那么：f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$+3
=2sin2x-1+3
∴f（x）=3-cos2x，
由余弦函数的图象及性质，可知：
当2x=2kπ+π时，f（x）取得最大值，即f（x）max=3+1=4，此时$x=kπ+\frac{π}{2}$（k∈Z）时，
故函数f（x）有最大值为4，此时$x=kπ+\frac{π}{2}$（k∈Z）．
点评 本题考查了向量的基本运算和三角函数的图象及性质的运用．属于基础题．
| A． | $\frac{400}{3}$m | B． | $\frac{200}{3}$m | C． | 200$\sqrt{3}$m | D． | 100$\sqrt{3}$m |
| A． | [-1，+∞） | B． | $[{-2\sqrt{2}，+∞}）$ | C． | $[{-\frac{17}{6}，+∞}）$ | D． | $[{-\frac{257}{60}，+∞}）$ |
| A． | $-\frac{24}{25}$ | B． | $-\frac{12}{25}$ | C． | $-\frac{4}{5}$ | D． | $\frac{24}{25}$ |