题目内容
如图，椭圆C0：
(a＞b＞0，a，b为常数)，动圆C1：x2＋y2＝t12，b＜t1＜a．点A1，A2分别为C0的左，右顶点，C1与C0相交于A，B，C，D四点．
(1)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程；
(2)设动圆C2：x2＋y2＝t22与C0相交于A′，B′，C′，D′四点，其中b＜t2＜a，t1≠t2．若矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等，证明：t12＋t22为定值．
（1）
(x＜－a，y＜0) （2）见解析
【解析】(1)解 设A(x1，y1)，B(x1，－y1)，
又知A1(－a,0)，A2(a,0)，
则直线A1A的方程为y＝
(x＋a)，①
直线A2B的方程为y＝
(x－a)．②
由①②得y2＝
(x2－a2)．③
由点A(x1，y1)在椭圆C0上，故
．
从而y12＝b2
，
代入③得(x＜－a，y＜0)．
(2)证明 设A′(x2，y2)，由矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等，得4|x1||y1|＝4|x2||y2|，
故x12y12＝x22y22．
因为点A，A′均在椭圆上，
所以b2x12＝b2x22
．
由t1≠t2，知x1≠x2，所以x12＋x22＝a2．从而y12＋y22＝b2，
因此t12＋t22＝a2＋b2为定值．
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B．
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⊥
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}．