Question

4．已知正实数x，y满足$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}=1$，若x+2y＞m²+2m恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A． （-2，4）
• B． （-4，2）
• C． （-∞，2]∪[4，+∞）
• D． （-∞，-4]∪[2，+∞）

Answer 1

分析 若x+2y＞m²+2m恒成立，只需求解x+2y的最小值即可．利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

解答 解：由题意：正实数x，y，$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}=1$，
那么：x+2y=（x+2y）（$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}$）=4+$\frac{4y}{x}+\frac{x}{y}$≥4$+2\sqrt{\frac{4y}{x}\frac{x}{y}}$=8．，当且仅当x=y=$\frac{1}{3}$时取等号．
∴x+2y的最小值是8．
可得：8＞m²+2m，
解得：-4＜m＜2．
故选：B．

点评 本题考查了恒成立问题的转化为求解不等式．本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．