Question

9．设函数f（x）=asin（x+α）+bsin（x+β）+csin（x+γ），则p：“f（$\frac{π}{2}$）=0”是q：“f（x）为偶函数”的（　　）

• A． 充分而不必要条件
• B． 必要而不充分条件
• C． 充要条件
• D． 既不充分又不必要条件

Answer 1

分析 ①由f（$\frac{π}{2}$）=0，可得：asin（$\frac{π}{2}$+α）+bsin（$\frac{π}{2}$+β）+csin（$\frac{π}{2}$+γ）=0，可得acosα+bcosβ+ccosγ=0，即可得出f（-x）-f（x）=0，可得“f（x）为偶函数”．
②反之不成立，例如取$f（\frac{π}{2}+2kπ）$=0，（k∈Z，k≠0）．即可得出．

解答 解：①由f（$\frac{π}{2}$）=0，可得：asin（$\frac{π}{2}$+α）+bsin（$\frac{π}{2}$+β）+csin（$\frac{π}{2}$+γ）=0，∴acosα+bcosβ+ccosγ=0，
∴f（-x）-f（x）=asin（-x+α）+bsin（-x+β）+csin（-x+γ）-asin（x+α）-bsin（x+β）-csin（x+γ）
=-2asinxcosα-2asinxcosβ-2asinxcosγ=0，∴“f（x）为偶函数”．
②反之不成立，例如取$f（\frac{π}{2}+2kπ）$=0，（k∈Z，k≠0）．
∴p是q的充分不必要条件．
故选：A．

点评 本题考查了函数奇偶性、和差公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．