题目内容
已知集合M={f（x）|f2（a）-f2（b）=f（a+b）•f（a-b），x，y∈R}，有下列命题：
①若f1（x）=
，则f1（x）∈M；
②若f2（x）=2x，则f2（x）∈M；
③若f3（x）∈M，则y=f3（x）的图象关于原点对称；
④若f4（x）∈M，则对于任意不等的实数x1，x2，总有
＜0成立．
其中所有正确命题的序号是（ ）
①若f1（x）=
|
②若f2（x）=2x，则f2（x）∈M；
③若f3（x）∈M，则y=f3（x）的图象关于原点对称；
④若f4（x）∈M，则对于任意不等的实数x1，x2，总有
| f4(x1)-f4(x2) |
| x1-x2 |
其中所有正确命题的序号是（ ）
| A、①③ | B、①④ | C、②③ | D、②④ |
考点：命题的真假判断与应用
专题：综合题,函数的性质及应用
分析：①②可验证时否符合集合的公共属性；③证明是奇函数④可用特例来否定是减函数．
解答：
解：①当f1（x）=
时可计算f2（a）-f2（b）与f（a+b）•f（a-b）不恒等．
②当f（x）=2x时，f2（a）-f2（b）=f（a+b）•f（a-b）成立．
③令x=y=0，得f（0）=0，
令x=0，则由f2（a）-f2（b）=f（a+b）•f（a-b）得：f（b）•f（-b）=-f2（b）
所以f（x）是奇函数，其图象关于原点对称．
④函数f（x）满足条件：f2（a）-f2（b）=f（a+b）•f（a-b），但在定义域上是增函数
故只有②③正确
故选：C．
|
②当f（x）=2x时，f2（a）-f2（b）=f（a+b）•f（a-b）成立．
③令x=y=0，得f（0）=0，
令x=0，则由f2（a）-f2（b）=f（a+b）•f（a-b）得：f（b）•f（-b）=-f2（b）
所以f（x）是奇函数，其图象关于原点对称．
④函数f（x）满足条件：f2（a）-f2（b）=f（a+b）•f（a-b），但在定义域上是增函数
故只有②③正确
故选：C．
点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，主要考查元素与集合的关系及函数奇偶性、单调性的判断．另外在解客观题时可用特殊法，提高解题效率．
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