Question

1．如图，在直角△ABC中，AB⊥BC，D为BC的中点，以AB为直径作圆O，分别交AC、AD于点E，F，若AF=3，FD=1，则AE等于（　　）

• A． $\sqrt{6}$
• B． $\frac{6\sqrt{7}}{7}$
• C． $\frac{8\sqrt{7}}{7}$
• D． $\frac{4\sqrt{21}}{7}$

Answer 1

分析 运用圆的切线的性质和切割线定理，求得BD=2，再由勾股定理，求得AB，AC的值，再由切割线定理，可得CB²=CE•CA，即可得到所求值．

解答 解：由AB⊥BC，可得DB为切线，
由切割线定理可得，BD²=DF•DA，
由AF=3，FD=1，可得BD²=1×（1+3）=4，
解得BD=2，
在直角三角形ABD中，AB=$\sqrt{A{D}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
在直角三角形ABC中，AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{12+16}$=2$\sqrt{7}$，
由BC为切线，可得CB²=CE•CA，
即有16=（2$\sqrt{7}$-AE）•2$\sqrt{7}$，
解得AE=$\frac{6\sqrt{7}}{7}$．
故选：B．

点评 本题考查圆的切线的性质和切割线定理、勾股定理的运用，考查推理和运算能力，属于中档题．