已知向量$\overrightarrow{a}$.$\overrightarrow{b}$的夹角为120°.且|$\overrightarrow{a}$|=2.|$\overrightarrow{b}$|=3.则向量2$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$在向量2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

17．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为120°，且|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=3，则向量2$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$在向量2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$方向上的投影为（　　）

A．

$\frac{19\sqrt{13}}{13}$

B．

$\frac{6\sqrt{13}}{13}$

C．

$\frac{5\sqrt{6}}{6}$

D．

$\frac{8\sqrt{3}}{13}$

分析利用求模运算得到|2$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$|，向量|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|进而得到向量向量2$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$与向量2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$的夹角余弦，根据投影定义可得答案．

解答解：向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为120°，且|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=3，
所以|2$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$|²=4$\overrightarrow{a}$²+12$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+9$\overrightarrow{b}$²=16+12|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|cos120°+81=61，|2$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{61}$．
又|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|²=4${\overrightarrow{a}}^{2}$+4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$=16+4×3×2cos120°+9=13，
所以|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{13}$，
则cos＜2$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$，2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{（2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}）（2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）}{|2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}||2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|}$=$\frac{16-8×2×3×\frac{1}{2}+27}{\sqrt{61}\sqrt{13}}$=$\frac{19}{\sqrt{61}•\sqrt{13}}$，
所以向量2$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$在向量2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$方向上的投影为|2$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$|cos＜2$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$，2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$＞=$\sqrt{61}×\frac{19}{\sqrt{61}•\sqrt{13}}$=$\frac{19\sqrt{13}}{13}$，
故选：A．

点评本题考查平面向量数量积的含义及其物理意义，考查向量模的求解投影等概念，是中档题．