Question

1．已知函数y=f（x）图象关于y轴对称的图象对应的函数为y=F（x），当函数y=f（x）和y=F（x）在区间[a，b]同时递增或同时递减时，区间[a，b]叫做函数y=f（x）的“不动区间”．若区间[1，2]为函数y=|2^x-t|的“不动区间”，则实数t的最大值为2．

Answer 1

分析 若区间[1，2]为函数f（x）=|2^x-t|的“不动区间”，则函数f（x）=|2^x-t|和函数F（x）=|2^-x-t|在[1，2]上单调性相同，则（2^x-t）（2^-x-t）≤0在[1，2]上恒成立，进而得到答案．

解答 解：∵函数y=f（x）与y=F（x）的图象关于y轴对称，
∴F（x）=f（-x）=|2^-x-t|，
∵区间[1，2]为函数f（x）=|2^x-t|的“不动区间”，
∴函数f（x）=|2^x-t|和函数F（x）=|2^-x-t|在[1，2]上单调性相同，
∵y=2^x-t和函数y=2^-x-t的单调性相反，
∴（2^x-t）（2^-x-t）≤0在[1，2]上恒成立，
即1-t（2^x+2^-x）+t²≤0在[1，2]上恒成立，
即2^-x≤t≤2^x在[1，2]上恒成立，
即有$\frac{1}{2}$≤t≤2；
即实数t的最大值为2；
故答案为：2．

点评 本题考查函数恒成立问题，涉及指数函数的图象和性质，正确理解不动区间的定义，是解答的关键．