Question

12．已知sinα=$\frac{5}{13}$，0＜α＜$\frac{π}{2}$．
（1）求sin2α的值；
（2）若cos（α-β）=$\frac{4}{5}$，0＜α＜β＜$\frac{π}{2}$，求cosβ的值．

Answer 1

分析 （1）利用同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式求得sin2α的值．
（2）利用同角三角函数的基本关系求得sin（α-β）=的值，再利用两角差的余弦公式求得cosβ=cos[α-（α-β）]的值．

解答 解：（1）∵sinα=$\frac{5}{13}$，0＜α＜$\frac{π}{2}$，∴cosα=$\sqrt{{1-sin}^{2}α}$=$\frac{12}{13}$，∴sin2α=2sinαcosα=2•$\frac{5}{13}$•$\frac{12}{13}$=$\frac{120}{169}$．
（2）若cos（α-β）=$\frac{4}{5}$，0＜α＜β＜$\frac{π}{2}$，∴sin（α-β）=-$\sqrt{{1-cos}^{2}（α-β）}$=-$\frac{3}{5}$，
∴cosβ=cos[α-（α-β）]=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β）=$\frac{12}{13}•\frac{4}{5}$+$\frac{5}{13}$•（-$\frac{3}{5}$）=$\frac{33}{65}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式的应用，属于基础题．