Question

6．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．
（1）过E做⊙O的切线，交AC与点D，证明：D是AC的中点；
（2）若CE=3AO，求∠ACB的大小．

Answer 1

分析 （1）利用圆的切线的性质、弦切角与等腰三角形的性质、直角三角形的性质即可证明．
（2）$sin∠ACB=\frac{2AO}{CE+BE}=\frac{2AO}{3AO+BE}$；△ABE中，$cos∠EBA=\frac{BE}{2AO}=sin∠ACB$，BE=2AOsin∠ACB，代入化简基础即可得出．

解答 （1）证明：连接OE，AE，∵AC是⊙O的切线，DE也是⊙O的切线，
∴弦切角∠CAE=∠DEA，∴△ADE是等腰三角形，AD=DE，
∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°=∠CEA．
∴D是△AEC的外心，即是AC的中点．
（2）解：$sin∠ACB=\frac{2AO}{CE+BE}=\frac{2AO}{3AO+BE}$；△ABE中，$cos∠EBA=\frac{BE}{2AO}=sin∠ACB$，BE=2AOsin∠ACB；
∴$sin∠ACB=\frac{2AO}{3AO+2AOsin∠ACB}=\frac{2}{3+2sin∠ACB}$；
解方程的$sin∠ACB=\frac{1}{2}$，∴锐角∠ACB=30°．

点评 本题考查了圆与切线的性质、直角三角形的边角关系及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．