Question

如图，在四面体P－ABC中，已知PA＝BC＝6，PC＝AB＝10，AC＝8，PB＝．F是线段PB上一点，CF＝，点E在线段AB上，且EF⊥PB．

(1)证明PB⊥平面CEF?

(2)求二面角B－CE－F的大小．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵PA2＋AC2＝36＋64＝100＝PC2， 　　∴△PAC是以∠PAC为直角的直角三角形，同理可证△PAB是以∠PAB为直角的三角形，△PCB是以∠PCB为直角的三角形，故PA⊥平面ABC． 　　又∵S△PBC＝|PB||PC|＝×10×6＝30， 　　而|PB||CF|＝××＝30＝S△PBC． 　　故CF⊥PB．又已知EF⊥PB， 　　∴PB⊥平面CEF． 　　(2)由(1)知PB⊥CE，PA⊥平面ABC， 　　∴AB是PB在平面ABC上的射影，故AB⊥CE． 　　在平面PAB内，过F作FF1垂直AB且交AB于F1点，则FF1⊥平面ABC． 　　EF1是EF在平面ABC上的射影，∴EF⊥EC， 　　故∠FEB是二面角B－CE－F的平面角． 　　tan∠FEB＝cot∠PBA＝． 　　∴所求二面角的正切值为．

提示：

利用线线垂直和线面垂直的转化．