题目内容

7．甲、乙两队参加听歌猜歌名游戏，每队3人．随机播放一首歌曲，参赛者开始抢答，每人只有一次抢答机会（每人抢答机会均等），答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为$\frac{2}{3}$，乙队中3人答对的概率分别为$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$，且各人回答正确与否相互之间没有影响．
（Ⅰ）若比赛前随机从两队的6个选手中抽取两名选手进行示范，求抽到的两名选手在同一个队的概率；
（Ⅱ）用ξ表示甲队的总得分，求随机变量ξ的分布列和数学期望；
（Ⅲ）求两队得分之和大于4的概率．

分析 （Ⅰ）6个选手中抽取两名选手共有${C}_{6}^{2}$种结果，抽到的两名选手在同一个队包括同在甲队或乙队，共有$2{C}_{3}^{2}$种结果，由此能求出从两队的6个选手中抽取两名选手进行示范，抽到的两名选手在同一个队的概率．
（Ⅱ）由题意知，ξ的可能取值为0，1，2，3，且～B（3，$\frac{2}{3}$），由此能求出随机变量ξ的分布列和数学期望．
（Ⅲ）用B表示事件：两队得分之和大于4包括：两队得分之和为5，两队得分之和为6，用A1表示事件：两队得分之和为5，包括甲队3分乙队2分和乙队3分甲队2分．用A2表示事件：两队得分之和为6，甲队3分乙队3分，由P（B）=P（A1）+P（A2），能求出两队得分之和大于4的概率．

解答 解：（Ⅰ）6个选手中抽取两名选手共有${C}_{6}^{2}$=15种结果，
抽到的两名选手在同一个队包括同在甲队或乙队，共有：$2{C}_{3}^{2}$=6种结果，
用A表示事件：“从两队的6个选手中抽取两名选手，求抽到的两名选手在同一个队”
P（A）=$\frac{6}{15}$=$\frac{2}{5}$．
故从两队的6个选手中抽取两名选手进行示范，抽到的两名选手在同一个队的概率为$\frac{2}{5}$．
（Ⅱ）由题意知，ξ的可能取值为0，1，2，3，且～B（3，$\frac{2}{3}$），
P（ξ=0）=${C}_{3}^{0}（\frac{1}{3}）^{3}=\frac{1}{27}$，
P（ξ=1）=${C}_{3}^{1}（\frac{2}{3}）（\frac{1}{3}）^{2}$=$\frac{6}{27}$，
P（ξ=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{2}{3}）^{2}（\frac{1}{3}）$=$\frac{12}{27}$，
P（ξ=3）=${C}_{3}^{3}$（$\frac{2}{3}$）3=$\frac{8}{27}$．
∴ξ的分布列为：

ξ0123
P$\frac{1}{27}$$\frac{2}{9}$$\frac{4}{9}$$\frac{8}{27}$
ξ的数学期望E（ξ）=0×$\frac{1}{27}$+1×$\frac{2}{9}$+2×$\frac{4}{9}$+3×$\frac{8}{27}$=2．
（Ⅲ）用B表示事件：两队得分之和大于4包括：两队得分之和为5，两队得分之和为6，
用A1表示事件：两队得分之和为5，包括甲队3分乙队2分和乙队3分甲队2分．
P（A1）=$（\frac{2}{3}）^{3}$（$\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}$+$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}$+$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$）+$\frac{4}{9}（\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}）$=$\frac{40}{243}$，
用A2表示事件：两队得分之和为6，甲队3分乙队3分，
则P（A2）=$（\frac{2}{3}）^{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{8}{243}$，
P（B）=P（A1）+P（A2）=$\frac{40}{243}+\frac{8}{243}$=$\frac{48}{243}$．

点评 本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式、二项分布性质、互斥事件概率计算公式的合理运用．

练习册系列答案
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