题目内容
15．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知曲线C1的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α为参数），曲线C1的极坐标方程为ρ（cosθ+2sinθ）+2=0，曲线C2的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．（1）判断A、B两点与曲线C1的位置关系；
（2）点M是曲线C1上异于A、B两点的动点，求△MAB的面积的最大值．
分析 （1）参数方程化为普通方程，极坐标方程化为直角坐标方程，求出A，B的坐标，即可得出结论；
（2）利用椭圆的参数方程，设出M的坐标，求出M到直线x+2y+2=0的距离，表示出面积，即可求△MAB的面积的最大值．
解答 解：（1）曲线C1的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α为参数），消去参数可得普通方程$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，
曲线C2的极坐标方程为ρ（cosθ+2sinθ）+2=0，直角坐标方程为x+2y+2=0，
可得A（-2，0），B（0，-1），在$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1上；
（2）设M（2cosθ，sinθ）（θ∈[0，2π]，M到直线x+2y+2=0的距离d=$\frac{|2cosθ+2sinθ+2|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|2\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）+2|}{\sqrt{5}}$，
∵|AB|=$\sqrt{5}$，∴△MAB的面积S=|$\sqrt{2}$sin（$θ+\frac{π}{4}$）+1|的最大值为$\sqrt{2}$+1．
点评 本题考查三种方程的互化，考查参数方程的运用，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
5．函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x-4，（x＜0）}\\{{x}^{2}-4，（x＞0）}\end{array}\right.$的零点为（ ）
| A． | -4或-2 | B． | -4或2 | C． | -2或4 | D． | -2或2 |
如图，已知E，F分别是正方形ABCD边BC、CD的中点，EF与AC交于点O，PA，NC都垂直于平面ABCD，且PA=AB=4，NC=2，M是线段PA上的一动点．
3．
如图所示为某城市去年风向频率图，图中A点表示该城市去年有的天数吹北风，点表示该城B市去年有10%的天数吹东南风，下面叙述不正确的是（ ）
如图所示为某城市去年风向频率图，图中A点表示该城市去年有的天数吹北风，点表示该城B市去年有10%的天数吹东南风，下面叙述不正确的是（ ）| A． | 去年吹西北风和吹东风的频率接近 | B． | 去年几乎不吹西风 | ||
| C． | 去年吹东风的天数超过100天 | D． | 去年吹西南风的频率为15%左右 |
7．若sinαsinβ=1，则cos（α+β）=（ ）
| A． | 1 | B． | -1 | C． | 0 | D． | 0或-1 |