Question

以下四个关于圆锥曲线的命题中：

①设为两个定点，为非零常数，，则动点的轨迹为双曲线；

②过定圆上一定点作圆的动点弦，为坐标原点，若则动点的轨迹为圆；

③，则双曲线与的离心率相同；

④已知两定点和一动点，若，则点的轨迹关于原点对称.

其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）.

Answer 1

②③④

【解析】

试题分析：①错误.若动点的轨迹为双曲线，则要小于两个定点间的距离，当大于两个定点间的距离时动点的轨迹无图形，当等于两个定点间的距离时，动点的轨迹是两条射线；

②正确.根据平面向量加法的平行四边形法则，易知点是的中点.根据垂径定理，圆心与弦的中点连线垂直于这条弦，在定圆上，有,即恒为直角.由于是圆的半径，是一个定长，且，所以点在以为直径的圆上运动，所以动点的轨迹是一个圆.

③正确.双曲线的离心率，由：且，解得；

双曲线的离心率，由，又因为，所以，综上，所以两个双曲线的离心率相同，正确.

④正确.设，所以即：，设为曲线上任意一点，则点关于原点的对称点，因为

，即点也在曲线上，所以命题正确.

综上正确命题的序号是②③④.

考点：1.双曲线的定义；2.动点的轨迹；3.双曲线的离心率.