Question

古希腊人常用小石头在沙滩上摆成各种形状来研究数，比如：他们研究过图（1）中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图（2）中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是

③

．（填写序号）
①16；
②25；
③36； 
④49．

Answer 1

分析：按照三角形数，正方形数的定义逐个验证，利用方程判断．

解答：解：三角形数都可写成1+2+…+n=

n(n+1)

2

的形式，正方形数都可写成n²的形式
①由于16=

n(n+1)

2

无正整数解，所以16不是三角形数．
②由于25=

n(n+1)

2

无正整数解，所以25不是三角形数．
③由36=

n(n+1)

2

解得n=8，所以36是三角形数．又36=6²，所以36也是正方形数．符合要求
④由于49=

n(n+1)

2

无正整数解，所以49不是三角形数．
综上所述，既是三角形数又是正方形数的是36
故答案为：③

点评：考查学生观察、分析和归纳能力，并能根据归纳的结果解决分析问题，注意对数的特性的分析，属基础题．