Question

11．已知a，b∈R，函数f（x）=x²-2（a-5）x+b+4与函数g（x）=x²+2（a-5）x-b+4均没有零点，若ak-b=15，则实数k的取值范围为（2，5）．

Answer 1

分析 由题意可得△₁=4（a-5）²-4（b+4）＜0，△₂=4（a-5）²-4（-b+4）＜0，从而化为线性规划问题，作出平面区域，再化简ak-b=15为k=$\frac{b+15}{a}$，从而利用几何意义求解即可．

解答 解：∵函数f（x）=x²-2（a-5）x+b+4与函数g（x）=x²+2（a-5）x-b+4均没有零点，
∴方程x²-2（a-5）x+b+4=0与x²+2（a-5）x-b+4=0没有根，
∴△₁=4（a-5）²-4（b+4）＜0，
△₂=4（a-5）²-4（-b+4）＜0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b＞（a-5）^{2}-4}\\{b＜4-（a-5）^{2}}\end{array}\right.$，
作不等式表示的平面区域如下，
，
结合图象可知a≠0，
故化简ak-b=15得k=$\frac{b+15}{a}$，
其几何意义为点（a，b）与点（0，-15）的连线的斜率，
作图如下，
，
结合图象可知，
A（0，-15），B（3，0），
故${k}_{{l}_{2}}$=$\frac{0+15}{3-0}$=5，
令y=（x-5）²-4，y′=2（x-5），
故2（x-5）=$\frac{（x-5）^{2}-4+15}{x}$，
解得，x=6；
故${k}_{{l}_{1}}$=2•（6-5）=2，
故结合图象可知，
2＜k＜5；
故答案为：（2，5）．

点评 本题考查了线性规划的变形应用，同时考查了数形结合的思想与转化思想的应用，及导数的几何意义的应用．