Question

20．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B，其中A、B、ω、φ均为实数，且A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$，写出满足f（1）=2，$f（2）=\frac{1}{2}$，f（3）=-1，f（4）=2的一个函数f（x）=$\sqrt{3}$sin（$\frac{2π}{3}$x-$\frac{π}{3}$）+$\frac{1}{2}$（写出一个即可）

Answer 1

分析 根据题意得出f（x）满足的条件，求出A、ω、φ对应的值即可写出f（x）的解析式．

解答 解：根据题意，函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B是周期函数，
且满足$\left\{\begin{array}{l}{Asin（ω+φ）+B=2}\\{Asin（2ω+φ）+B=\frac{1}{2}}\\{Asin（3ω+φ）+B=-1}\\{Asin（4ω+φ）+B=2}\end{array}\right.$，其中A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴sin（4ω+φ）=sin（ω+φ），
∴4ω+φ=ω+φ+2kπ，k∈Z，
∴ω=$\frac{2kπ}{3}$，k∈Z，取ω=$\frac{2π}{3}$；
∴Asin（$\frac{2π}{3}$+φ）+B=2①且Asin（2π+φ）+B=-1②；
∴①-②得A[sin（$\frac{2π}{3}$+φ）-sinφ]=3
∴A（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosφ-$\frac{3}{2}$sinφ）=3
∴A（cos$\frac{π}{3}$cosφ-sin$\frac{π}{3}$sinφ）=$\sqrt{3}$
∴Acos（φ+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$
令A=$\sqrt{3}$，则φ=-$\frac{π}{3}$；
∴写出满足条件的一个函数为
f（x）=$\sqrt{3}$sin（$\frac{2π}{3}$x-$\frac{π}{3}$）+$\frac{1}{2}$；
故答案为：$f（x）=\sqrt{3}sin（\frac{2π}{3}x-\frac{π}{3}）+\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了正弦、余弦函数的图象与性质的应用问题，是较难的题目．