Question

13．已知棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P，Q是面对角线A₁C₁上的两个不同的动点（包括端点A₁，C₁）．给出以下四个结论：
①存在P，Q两点，使BP⊥DQ；
②存在P，Q两点，使BP，DQ与直线B₁C都成45°的角；
③若PQ=1，则四面体BDPQ的体积一定是定值；
④若PQ=1，则四面体BDPQ在该正方体六个面上的正投影的面积之和为定值．
以上各结论中，正确结论的个数是（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 令P与A₁点重合，Q与C₁点重合，可判断①．当P与A₁点重合时，BP与直线B₁C所成的角最小，此时两异面直线夹角为60°，可判断②．根据平面OBD将四面体BDPQ可分成两个底面均为平面OBD，高之和为PQ的棱锥（其中O为上底面中心），可判断③；根据四面体BDPQ在该正方体六个面上的正投影的面积不变，可判断④．

解答 解：对于①．当P与A₁点重合，Q与C₁点重合时，BP⊥DQ，故①正确；
对于②．当P与A₁点重合时，BP与直线B₁C所成的角最小，此时两异面直线夹角为60°，故②错误．
对于③．设平面A₁B₁C₁D₁两条对角线交点为O，则易得PQ⊥平面OBD．平面OBD将四面体BDPQ可分成两个底面均为平面OBD，高之和为PQ的棱锥，故四面体BDPQ的体积一定是定值，故③正确．
对于④．四面体BDPQ在上下两个底面上的投影是对角线互相垂直且对角线长度均为1的四边形，其面积为定值．四面体BDPQ在四个侧面上的投影，均为上底为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，下底和高均为1的梯形，其面积为定值．故四面体BDPQ在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值．故④正确．
综上可得：只有①③④正确．
故选：B．

点评 本题考查了综合考查了正方体的性质、空间位置关系、线面垂直的判定与性质定理、棱锥的体积计算公式、直角三角形的边角关系、异面直线所成的角，考查了推理能力与计算能力，属于难题．