Question

19．（1）已知复数z=3+bi，（i为虚数单位，b为正实数），且（z-2）²为纯虚数，求复数z；
（2）已知（3x+$\frac{1}{\sqrt{x}}$）ⁿ的展开式中各二项式系数之和为16，求展开式中x项的系数．

Answer 1

分析 （1）由已知求出（z-2）²，利用实部为0且虚部不为0求得b，则z可求；
（2）由题意可得展开式中各二项式系数之和2ⁿ=16，从而求得n的值，的展开式的通项公式中，令x的幂指数等于1，求得 r的值，可得展开式中x项的系数

解答 解：（1）复数z=3+bi，（i为虚数单位，b为正实数），
则（z-2）²=（3-2+bi）²=（1+bi）²=1-b²-2bi，
∵（z-2）²为纯虚数，
∴1-b²=0，
解得b=1，
∴z=3+i，
（2）由题意可得展开式中各二项式系数之和2ⁿ=16，∴n=4．
（3x+$\frac{1}{\sqrt{x}}$）ⁿ的展开式的通项公式为 T_r+1=C₄^r•3^4-r•x${\;}^{4-\frac{3}{2}r}$，令4-$\frac{3}{2}r$=1，求得 r=2，
∴展开式中x项的系数为C₄²×3²=54．

点评 本题考查复数代数形式的乘除运算，二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．