Question

10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2bcosC=acosC+ccosA．
（I）求角C的大小；
（II）若b=2，c=$\sqrt{7}$，求a及△ABC的面积．

Answer 1

分析 （I）由正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理化简已知等式可得2sinBcosC=sinB，结合sinB＞0，可得cosC=$\frac{1}{2}$，由于C∈（0，C），可求C的值．
（II）由已知利用余弦定理可得：a²-2a-3=0，解得a的值，进而利用三角形的面积公式即可计算得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（I）∵2bcosC=acosC+ccosA，
∴由正弦定理可得：2sinBcosC=sinAcosC+cosAsinC，可得：2sinBcosC=sin（A+C）=sinB，
∵sinB＞0，
∴cosC=$\frac{1}{2}$，
∵C∈（0，C），
∴C=$\frac{π}{3}$…6分
（II）∵b=2，c=$\sqrt{7}$，C=$\frac{π}{3}$，
∴由余弦定理可得：7=a²+4-2×$a×2×\frac{1}{2}$，整理可得：a²-2a-3=0，
∴解得：a=3或-1（舍去），
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×3×2×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$…12分

点评 本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．