Question

已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为．

（1）求椭圆的方程

（2）设过点的直线l与椭圆交于A、B两点，若以AB为直径的圆与y轴相切，求直线l的方程．

Answer 1

考点：

直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．

专题：

综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：

（1）设椭圆的长半轴为a，短半轴长为b，半焦距为c，则，解出即可；

（2）易判断直线l存在斜率，设直线l的方程为y=kx+，因为以AB为直径的圆与y轴相切，所以圆心到y轴的距离即圆心横坐标等于半径，由弦长公式可求得|AB|，从而可得半径，利用韦达定理及中点坐标公式可求得圆心横坐标．

解答：

解：（1）设椭圆的长半轴为a，短半轴长为b，半焦距为c，

则，解得，b²=a²﹣c²=2，

∴椭圆C的标准方程为．

（2）易知直线不存在斜率时不满足条件，设直线l的方程为y=kx+，

由，得（1+2k²）x²+4kx+2=0，△＞0，

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则k，，

则，即圆心横坐标为﹣，

|AB|====，

因为以AB为直径的圆与y轴相切，所以|﹣|=，解得k=±1，

所以直线l的方程为：y=x+或y=﹣x+．

点评：

本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆标准方程的求解，弦长公式、韦达定理是解决该类问题的基础，解决（2）问的关键是由线圆相切得到等式．