Question

16．设关于x的不等式ax²+2|x-a|-20＜0的解集为A，试探究是否存在自然数a，使得不等式x²+x-2＜0与|2x-1|＜x+2的解都属于A，若不存在，说明理由．若存在，请求满足条件的a的所有的值．

Answer 1

分析 根据题意求解A，a为自然数，对a进行讨论，利用根的分布求解即可．

解答 解：不等式x²+x-2＜0与|2x-1|＜x+2的解都属于A，
可得A={x|$-\frac{1}{3}＜x＜1$}．
∵a为自然数，对a进行讨论．
当a=0时，不等式ax²+2|x-a|-20＜0化简为2x-20＜0，显然解集不是A，
当a≥1时，不等式ax²+2|x-a|-20＜0化简为ax²+2a-2x-20＜0，
令f（x）=ax²+2a-2x-20＜0，其解集为A．
需满足$\left\{\begin{array}{l}{f（-\frac{1}{3}）＞0}\\{f（1）＞0}\end{array}\right.$，解得：$1≤a＜\frac{22}{3}$，
∴满足条件的a的所有的值为：1，2，3，4，5，6，7．

点评 本题考查不等式的解法，讨论思想和转化思想，考查运算能力，属于中档题．