Question

记f（x）=

1

2

x3-ax，a∈R．
（1）解关于x的不等式f（x）＞a-

1

2

；
（2）当|x|≤2时，|f（x）|≤1恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据题意可得f(x)-a+

1

2

=

1

2

x3-ax-a+

1

2

=

1

2

(x+1)(x2-x+1-2a)，记g（x）=x²-x+1-2a，讨论△，从而求出不等式的解；
（2）由于f（x）是奇函数，且f（0）=0，所以只需研究x＞0即可，然后利用参变量分离法，研究不等式另一侧函数的最值可求出a的取值范围；
另解：根据

|f(1)|≤1 |f(2)|≤1

，可求出a的值，然后验证当|x|≤2时，|f（x）|≤1是否恒成立即可．

解答：解：（1）f(x)-a+

1

2

=

1

2

x3-ax-a+

1

2

=

1

2

(x+1)(x2-x+1-2a)，
记g（x）=x²-x+1-2a，△=1-4（1-2a）=8a-3，
①当△＜0，即a＜

3

8

时，不等式等价于x+1＞0，x＞-1；
②当△=0，即a=

3

8

时，不等式等价于(x+1)(x-

1

2

)2＞0，-1＜x＜

1

2

或x＞

1

2

；
③当

△＞0 g(-1)＞0

，即

3

8

＜a＜

3

2

时，不等式等价于（x+1）（x-x₁）（x-x₂）＞0，
其中x₁，x₂是g（x）的两个零点，且-1＜x₁＜x₂，则不等式的解为-1＜x＜x₁或x＞x₂；
④当

△＞0 g(-1)=0

，即a=

3

2

时，不等式等价于（x+1）²（x-2）＞0，则x＞2；
⑤当

△＞0 g(-1)＜0

，即a＞

3

2

时，不等式等价于（x+1）（x-x₁）（x-x₂）＞0，
其中x₁，x₂是g（x）的两个零点，且x₁＜-1＜x₂，则不等式的解为x₁＜x＜-1或x＞x₂．
（2）由于f（x）是奇函数，且f（0）=0，所以只需研究x＞0即可．
|f(x)|≤1?-1≤ax-

1

2

x3≤1?

1

2

x2-

1

x

≤a≤

1

2

x2+

1

x

，
∵h1(x)=

1

2

x2-

1

x

在（0，2]上递增，
∴a≥h1(2)=

3

2

，
∵h2(x)=

1

2

x2+

1

x

在（0，1]上递减，在[1，2]上递增，
∴a≤h2(1)=

3

2

，
所以a=

3

2

．
另解：

|f(1)|≤1 |f(2)|≤1

，得a=

3

2

．
当a=

3

2

时，f(x)+1=

1

2

x3-

3

2

x+1=

1

2

(x-1)2(x+2)≥0，对x∈（0，2]恒成立；
f(x)-1=

1

2

x3-

3

2

x-1=

1

2

(x+1)2(x-2)≤0对x∈（0，2]恒成立；
所以，当a=

3

2

时，不等式|f（x）|≤1在x∈（0，2]时恒成立．

点评：本题是一道综合题，主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值，以及恒成立问题，同时考查了分类讨论的数学思想和运算求解的能力，属于中档题．